üniversitede ring ne demek?

Üniversite matematiğinde halka (ring) kavramı, soyut cebirin temel yapılarından biridir. Kabaca, toplama ve çarpma işlemleri tanımlı olan ve belirli aksiyomları sağlayan bir kümedir.

Tanım:

Bir halka, boş olmayan bir R kümesi ve üzerinde tanımlı iki ikili işlem, genellikle toplama (+) ve çarpma (·) olarak adlandırılan işlemlerden oluşur. Bu işlemler aşağıdaki aksiyomları sağlamalıdır:

1. (R, +) Abelyen Grup Olmalıdır:

   • Kapalılık: Her a, b ∈ R için, a + b ∈ R.
   • Birleşme: Her a, b, c ∈ R için, (a + b) + c = a + (b + c).
   • Etkisiz Eleman (0): Her a ∈ R için, a + 0 = 0 + a = a olacak şekilde bir 0 ∈ R vardır. Bu elemana toplamsal birim eleman denir.
   • Ters Eleman: Her a ∈ R için, a + (-a) = (-a) + a = 0 olacak şekilde bir -a ∈ R vardır. Bu elemana a'nın toplamsal tersi denir.
   • Değişme: Her a, b ∈ R için, a + b = b + a.

2. (R, ·) Yarı Grup Olmalıdır:

   • Kapalılık: Her a, b ∈ R için, a · b ∈ R.
   • Birleşme: Her a, b, c ∈ R için, (a · b) · c = a · (b · c).

3. Dağılma Özelliği:

   • Her a, b, c ∈ R için, a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (soldan dağılma) ve (b + c) · a = (b · a) + (c · a) (sağdan dağılma).

Ek Tanımlar ve Kavramlar:

• Birim Elemanlı Halka: Eğer R kümesinde, her a ∈ R için a · 1 = 1 · a = a olacak şekilde bir 1 ∈ R elemanı varsa, bu elemana çarpımsal birim eleman (veya sadece birim eleman) denir ve halkaya birim elemanlı halka denir.

• Değişmeli Halka: Eğer her a, b ∈ R için a · b = b · a ise, halkaya değişmeli halka denir.

• Tam Sayılar Halkası (ℤ): Tam sayılar kümesi, alışılagelmiş toplama ve çarpma işlemleri ile bir halka oluşturur. Bu halka, değişmeli ve birim elemanlıdır (birim elemanı 1'dir).

• Polinom Halkası: Bir R halkası üzerinde tanımlı polinomlar kümesi, uygun toplama ve çarpma işlemleri ile bir halka oluşturur.

• İdeal: Bir R halkasının, R'nin toplamsal grubunun bir alt grubu olan ve R'nin elemanları ile çarpıldığında yine aynı alt grup içinde kalan bir altkümesidir. İdealler, halkaların yapısını anlamak için önemli bir araçtır.

• Sıfır Bölen: Bir R halkasında, a ≠ 0 ve b ≠ 0 olmak üzere, a · b = 0 ise, a ve b'ye sıfır bölen denir.

Halkalar, grup teorisi ile birlikte soyut cebirin temelini oluşturur ve sayı teorisi, cebirsel geometri ve kriptografi gibi birçok matematiksel alanda kullanılır.